225 comme différence de deux carrés - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers naturels \(a\) et \(b\) tels que \(a^2-b^2=225\) .

Solution

Pour tous \(a\) , \(b \in \mathbb{N}\) ,
\(\begin{align*}a^2-b^2=135\ \ \Longleftrightarrow \ \ (a-b)(a+b)=135\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}a-b \in \mathscr{D}(135)\\ a+b \in \mathscr{D}(135)\\ (a-b)(a+b)=135\end{array} \right.\end{align*}\) . 

Comme \(a\) , \(b \in \mathbb{N}\) , on sait de plus que \(a+b \geqslant 0\) et, comme  \((a-b)(a+b)=135>0\) , on a aussi \(a-b \geqslant 0\) . Enfin, comme \(b \geqslant 0\) , on a nécessairement \(a-b \leqslant a+b\) .

La liste des diviseurs positifs de \(225\) est : \(\begin{align*}\mathscr{D}_+(225)=\left\lbrace 1 \ ; 3 \ ; 5 \ ; 9 \ ; 15 \ ; 25 \ ; 45 \ ; 75 \ ; 225 \right\rbrace\end{align*}\)  
et les couples \((a-b;a+b)\) possibles sont donc : \((1;225)\) , \((3;75)\) , \((5;45)\) , \((9;25)\) et \((15;15)\) .

• Cas 1 :

\(\left\lbrace \begin{array}{l}a-b=1\\ a+b=225\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}2a=226 \ \ \ \ \ \ {\small L_1 \leftarrow L_1+L_2}\\ b=225-a\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}a=113\\ b=225-113=112\end{array} \right.\)  

• Cas 2 :

\(\left\lbrace \begin{array}{l}a-b=3\\ a+b=75\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}2a=78 \ \ \ \ \ \ {\small L_1 \leftarrow L_1+L_2}\\ b=75-a\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}a=39\\ b=75-39=36\end{array} \right.\)

• Cas 3 :

\(\left\lbrace \begin{array}{l}a-b=5\\ a+b=45\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}2a=50 \ \ \ \ \ \ {\small L_1 \leftarrow L_1+L_2}\\ b=45-a\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}a=25\\ b=45-25=20\end{array} \right.\)

• Cas 4 :

\(\left\lbrace \begin{array}{l}a-b=9\\ a+b=25\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}2a=34 \ \ \ \ \ \ {\small L_1 \leftarrow L_1+L_2}\\ b=25-a\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}a=17\\ b=25-17=8\end{array} \right.\)

• Cas 5 :

\(\left\lbrace \begin{array}{l}a-b=15\\ a+b=15\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}2a=30 \ \ \ \ \ \ {\small L_1 \leftarrow L_1+L_2}\\ b=15-a\end{array} \right.\ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}a=15\\ b=15-15=0\end{array} \right.\)

Finalement, les couples d'entiers naturels \((a;b)\) tels que \(a^2-b^2=225\) sont : \((113;112)\) , \((39;36)\) , \((25;20)\) , \((17;8)\) et \((15;0)\) .